PROGRAM LINEAR
Standar
Kompetensi :
Menyelesaikan
program linear
Kompetensi Dasar
:
1.
Menyelesaikan
sistem pertidaksamaan linear dua variabel
2.
Merancang
model matematika dari masalah program linear
3.
Menyelesaikan
model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mengikuti pembelajaran diharapkan pembaca dapat:
1.
Mengenal arti
sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
2.
Menentukan
penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
3.
Mengenal
masalah yang merupakan program linear.
4.
Menetukan
fungsi obyektif dan kendala dari prgram linear.
5.
Menggambar daerah fisible dari
program linear.
6.
Merumuskan
model matematika dari masalah program linear.
7.
Menentukan
nilai optimum dari fungsi objektif.
8.
Menafsirkan
solusi dari masalah program linear.
ALOKASI WAKTU
6
x 45 menit
PRASYARAT
Untuk
mempermudah dalam mempelajari bab ini diharapkan pembaca sudah menguasai metode
untuk menyelesaikan system persamaan linier dua variable yang telah dipelajari
di kelas x semester 1. Untuk mengingatkan kembali metode tersebut pembaca dapat
perhatikan contoh soal berikut:
Contoh soal
Tentukan nilai nilai x dan y yang memenuhi
system persamaan linier 2x + y = 8; 3x – 2y = 5!
Pembahasan:
Misalkan : 2x
+ y = 8 ……………(1)
3x – 2y
= 5 …………...(2)
Dengan mengeliminasi y eliminasi didapat:
selanjutnya
dengan mensubititusi x ke persamaan (1) didapat y = 2
Untuk mengetahui kemampuan prasyarat ada
baiknya pembaca mencoba beberapa soal berikut:
Latihan Soal
Tentukan nilai x dan y yang memenuhi system
persamaan linier berikut:
a.
3x – y = 4 dan 2x + 3y = 21
b.
x + y = 13 dan x – y = 1
c.
x + 5y = 12 dan 2x – y = 2
Setelah pembaca
menguasai kemampuan prasyarat di atas pembaca dapa melenjutkan mempelajari
materi berikut:
A.
SISTEM PERTIDAKSAMAAN
LINEAR DUA VARIABLE
Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinyatakan dengan
persamaan yang berbentuk:
Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linear dalam variabel
x dan y (dua variabel).
Secara umum, dapat didefinisikan sebagai persamaan linear dengan n variabel x1, x2, . . . xn dalam bentuk
berikut :
dengan a1, a2, . . ., an, b adalah konstanta-konstanta real.
Jika melibatkan lebih dari
satu persamaan, maka
disebut dengan sistem persamaan linear. Dapat dituliskan
sebagai berikut :
Untuk saat ini, pembahasan dibatasi menjadi
dua variabel saja. Untuk pertidaksamaan linear, tanda “ = ” diganti dengan“ ≤ ”,
“ < ”, “ ≥ ”,
“ > ”. Bentuk umum pertidaksamaan linier dua variable adalah
sebagai berikut:
ax + by < c
ax + by > c
ax + by 
c
c
ax + by 
c
c
dengan x, y adalah variabel sedangkan a, b, dan c 
R
R
Untuk membantu pembaca dalam menyelesaikan system pertidaksamaan linier dua
variabel berikut diberikan contoh soal.
Contoh soal:
Tentukan daerah
penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear : x + y 5; x + 2y 6; x 0; y 0
5; x + 2y 6; x 0; y 0
Pembahasan :
Untuk menggambar daerah penyelesaian system
pertidaksamaan linier dua variable langkah pertama adalah menentukan titik
potong pada sumbu x dan titik potong pada sumbu y sebagai berikut:
Dari persamaan x +
y = 5, untuk x = 0 didapat y = 5 sehingga diperoleh titik potong pada sumbu y
adalah (0,5) sedangkan untuk y = 0 didapat nilai x = 5 sehingga diperoleh titik
potong pada sumbu x adalah (5,0).
Dari persamaan x +
2y = 6, untuk x = 0 didapat y = 3 sehingga diperoleh titik potong pada sumbu y
adalah (0,3) sedangkan untuk y = 0 didapat nilai x = 6 sehingga diperoleh titik
potong pada sumbu x adalah (6,0).
Grafik dari kedua persamaan tersebut adalah sebagia
berikut:
Selanjutnya ditentukan daerah penyelesaian dengan menguji
titik (0,0). Apabila titik (0,0) disubtitusi ke system pertidaksamaan dapat
membuat pertidaksamaan tersebut benar maka arsiran menuju titik (0,0). Dalam
soal ini kita coba subtitusi titik (0.0) ke pertidaksamaan x + y 5 diperoleh
pertidak samaan 0 + 0 5. Perhatikan bahwa 0 + 0 5 adalah pernyataan yang benar karena itu arah
arsiran menuju titik (0.0) seperti pada gambar berikut:
5 diperoleh
pertidak samaan 0 + 0 5. Perhatikan bahwa 0 + 0 5 adalah pernyataan yang benar karena itu arah
arsiran menuju titik (0.0) seperti pada gambar berikut:
Selanjutnya titik (0.0) diujikan ke ke pertidaksamaan x + 2y
6 diperoleh pertidaksamaan 0 + 2(0) 6. Perhatikan bahwa 0 + 0 6 adalah pernyataan yang benar karena itu arah
arsiran juga menuju titik (0.0) sehingga arsiran untuk system pertidaksamaan x
+ 2y 6 tampak pada
gambar berikut:
6 diperoleh pertidaksamaan 0 + 2(0) 6. Perhatikan bahwa 0 + 0 6 adalah pernyataan yang benar karena itu arah
arsiran juga menuju titik (0.0) sehingga arsiran untuk system pertidaksamaan x
+ 2y 6 tampak pada
gambar berikut:
Daerah penyelesaian adalah daerah yang mendapat arsiran paling banyak
atau irisan arsiran dari beberapa system pertidaksamaan. Sehingga diperolah
daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear x + y 5; x + 2y 6; x 0; y 0. Tampak pada gambar berikut:
5; x + 2y 6; x 0; y 0. Tampak pada gambar berikut:
Untuk Mengetahaui kemampuan pembaca dalam menyelesaikan system
pertidaksamaan linier dua variabel pembaca dapat mencoba menyelesaikan soal –
soal berikut:
Latihan Soal
1. Gambarlah pada
bidang cartesius, himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear
berikut :
a.
3x + y 6, 5x + 4y 20, x 0, y 0
6, 5x + 4y 20, x 0, y 0
b.
2x + y 10, 3x + 2y 18, x 0, y 0
10, 3x + 2y 18, x 0, y 0
c.
x – y 3, x + 2y 4, y 2
3, x + 2y 4, y 2
2. Tulislah
sistem pertidaksamaan dari daerah penyelesaian berikut :
a. b.
B.
MODEL MATEMATIKA
Model matematika adalah
rumusan matematika yang berupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi yang
diperoleh dari hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah ke dalam bahasa
matematika. Untuk lebih jelasnya
pembaca dapat memperhatikan contoh berikut.
Contoh soal:
Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas 48
buah tempat duduk yang terbagi dalam dua kelas yaitu kelas A dan kelas B.
Setiap penumpang kelas A diberi hak yaitu membawa barang 60 kg, sedang
penumpang kelas B diberi hak membawa barang hanya 20 kg, tempat bagasi paling
banyak dapat memuat 1440 kg. Bila banyaknya penumpang kelas A sebanyak x orang
sedang kelas B sebanyak y orang. Tentukan model matematikanya.
Pembahasan :
Kelas
A
|
Kelas
B
|
|
Bagasi
|
60
kg
|
20
kg
|
Penumpang
|
x
orang
|
y
orang
|
Bagasi : 60x + 20y 1440 3x + y 72
Penumpang : x
+ y 48
48
Banyak penumpang tidak pernah negatif karena
itu x 0, y 0
0, y 0
Sehingga
diperoleh model matematikanya adalah :
3x + y 72
x
+ y 48
48
x 0
0
y 0
0
Untuk mengetahui kemampuan pembaca tentang
cara membuat model matematika dalam program linier pembaca dapat mencoba
menyelesaikan soal – soal berikut:
Latihan Soal
1.
Suatu
perusahaan merencanakan membangun rumah untuk 600 orang. Banyaknya rumah yang
akan dibangun tidak lebih dari 120 buah. Rumah jenis I biaya sewanya Rp.
100.000,- tiap bulan dan ditempati 4 orang, rumah jenis II biaya sewanya Rp.
125.000,- tiap bulan dan ditempati oleh 6 orang. Buatlah model matematikanya.
2.
Sebuah pabrik
membuat sepeda motor dan sepeda gunung setiap bulan dapat membuat
sebanyak-banyaknya 100 sepeda gunung, sedangkan sepeda motor dapat dibuat
sedikitnya 20 buah dan sebanyak-banyaknya 70 buah tiap bulan. Kapasitas
produksi pabrik sebanyak-banyaknya 150 buah kendaraan dalam sebulan. Jika harga
setiap sepeda motor 5 juta rupiah dan harga sepeda gunung 1 juta rupiah.
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
3. Seorang petani memerlukan zat kimia unsur A, B,
dan C sebanyak 60 kg, 120 kg, dan 50 kg untuk memupuk kebun sayurnya. Dalam
setiap kaleng pupuk cair mengandung zat A = 1 kg, zat B = 3 kg, dan zat C = 1
kg. Pupuk kering tiap kantong mengandung zat A = 2kg, zat B = 2 kg, dan zat C =
1 kg. Harga 1 kantong pupuk cair Rp. 30.000,- sedangkan pupuk kering Rp.
25.000,-. Buatlah
model matematika dari permasalahan
tersebut!\
4.
Seorang
tukang parkir mengelola lahan parkir seluas 588 m2, diperuntukkan
untuk menampung kendaraan jenis bus dan sedan. Luas rata-rata untuk parkir bus
adalah 24 m2, sedangkan untuk sedan memerlukan 6 m2.
Lahan parkir tersebut tidak mampu menampung sedan dan bus melebihi 38
kendaraan. Tentukan model matematika dari permasalahan diatas.
Setelah pembaca dapat membuat model
matematika dari suatu masalah program linier, pembaca dapat malanjutkan
pembelajaran tentang cara menentukan nilai optimum dan fungsi obyektif dari
masalah program linier berikut.
C. NILAI OPTIMUM DAN
FUNGSI OBYEKTIF
Program linear adalah suatu metode atau suatu cara untuk memecahkan masalah menjadi optimal (maksimum
atau minimum) yang memuat batasan-batasan yang dapat diubah atau diterjemahkan
ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Penyelesaian pertidaksamaan
linear terdapat dalam daerah himpunan penyelesaian. Dari beberapa penyelesaian
terdapat satu penyelesaian terbaik yang selanjutnya disebut penyelesaian
optimum dari suatu fungsi. Fungsi ini disebut dengan fungsi tujuan atau
objektif. Fungsi tujuan atau objektif dapat dinotasikan:
f(x,y) = ax + by.
Untuk menentukan nilai
optimum fungsi obyektif dapat menggunakan metode uji titik pojok atau dengan
metode garis selidik.
C.1 Metode Uji Titik Pojok
Untuk menentukan nilai optimum
fungsi objektif dengan menggunakan metode uji titik pojok, lakukanlah langkah-langkah berikut
:
a. Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah
program linear tersebut.
b. Tentukan
titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.
c. Substitusikan
koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.
d. Bandingkan
nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai
maksimum dari fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil berarti
menunjukkan nilai minimum
dari fungsi f(x,
y).
Untuk membantu pemahaman, pembaca dapat memperhatikan contoh soal berikut.
Contoh soal:
Seorang pedagang
mempunyai dagangan rokok merk A dan merk B. Rokok A dibeli dengan harga Rp.
6000,- per bungkus dan dijual dengan laba Rp. 400,- per bungkus, sedangkan
rokok B dibeli dengan harga Rp. 3000,- per bungkus dan dijual dengan laba Rp.
300,- per bungkus. Pedagang itu hanya mempunyai modal Rp. 240.000,- dan kiosnya
hanya dapat menampung paling banyak 500 bungkus rokok.
a.
Berapakah
banyak rokok A dan B yang harus dibeli agar mendapat untung yang
sebanyak-banyaknya (maksimum)
b.
Tentukan
besar keuntungan maksimumnya
Pembahasan :
Misalkan x adalah rokok jenis A dan y adalah rokok jenis B kemudian
tulis permasalahan di atas pada tebel seperti berikut:
Rokok
|
Jumlah
|
Harga
|
Laba
|
A
|
x
|
6000
|
400
|
B
|
y
|
3000
|
300
|
Persediaan
|
500
|
240.000
|
Fungsi tujuan dari permasalahan di atas adalah keuntungan yang dirumuskan dengan :
Untung = 400x + 300y dan dapat ditulis dengan notasi fungsi:
f(x,y) = 400x + 300y
dan
sistem pertidaksamaan linearnyaadalah :
x + y 500 ………….(1)
500 ………….(1)
6000x + 3000y 240.000 2x + y 800…….(2)
x 0
0
y 0
0
selanjutnya ditentukan Daerah himpunan penyelesaian dengan langkah sebagai berikut:
Untuk persamaan x + y = 500 diperolah titik potong pada sumbu x dan sumbu
y masing – masing sebagai berikut:
x
|
0
|
500
|
y
|
500
|
0
|
Dari tebel tersebut tampak bahwa titik potong pada sumbu x dan sumbu y
dari persamaan x + y = 500 masing – masing adalah (500,0) dan (0,500).
Dengan cara yang sama diperoleh titik pototng pada sumbu x dan sumbu y
dari persamaan 2x + y = 800 masing – masing adalah (400,0) dan (0,800).
Sehingga diperoleh daerah penyelesaian (daerah yang diarsir)sebagai
berikut:
 |
|
||||||
|
||||||
|
||||||
Pada gambar di atas tampak ada tiga titik pojok yaitu titk A, B dan C.
unutk koordinat titik A dan C masing – masing adalah ( 400,0) dan (0,500) akan
tetapi untuk titik B belum diketahui koordinatnya karena itu harus ditentukan
dahulu yaitu dengan menggunkan metode eliminasi dan subtitusi dari (1) dan (2).
Sehingga diperoleh :
x + y = 500
2x + y = 800
- x = - 300
x =
300
y =
200
Tampak bahwa koordint titik potong antara garis x + y = 500 dan 2x + y =
800 adalah (300,200).
Selanjutnya dengan metode uji titik pojok,
ditentukan keuntungan maksimum.
Perhatikan langkah – langkah
berikut:
Untuk titik (0,0) didapat nilai optimum f(0,0) = 400(0)+300(0) = 0
Untuk titik (400,0) didapat nilai optimum f(400,0) = 400(400)+300(0) =
160.00
Untuk titik (300,200) didapat nilai optimum f(300,200) = 400(300)+300(200)
= 180.000
Untuk titik (300,200) didapat nilai optimum f(0,500) = 400(0)+300(500) =
150.000
Dari langkah – langkah di atas, diperoleh
keuntungan maksimum yang dapat dicapai adalah 180.000, dengan rokok A yang
dibeli sebanyak 300 bungkus, dan rokok B sebanyak 200 bungkus.
Berikut beberapa soal yang dapat pembaca coba untuk mengasah kemampuan.
Latihan Soal
1.
Tentukan
nilai maksimum atau minimum dari fungsi sasaran dalam model matematika berikut
:
a.
F(x, y) = 2x
+ y
x
+ y 
6 ; x + 2y 8 ; x 
0 ; y 0
6 ; x + 2y 8 ; x 0 ; y 0
b. F(x, y) = 2x + 3y
5x + 3y 30 ; 5x + y 50 ; x + 3y 30 ; x 0 ; y 0
30 ; 5x + y 50 ; x + 3y 30 ; x 0 ; y 0
2.
Seorang
pedagang roti mempunyai modal 400.000,-. Roti jenis A dibeli dengan harga
1000,- dan roti jenis B dibeli dengan harga 500,-. Sedangkan tempat roti hanya
mampu menampung tidak lebih dari 500 buah. Keuntungan tiap roti jenis A 200,-
dan keuntungan tiap roti jenis B 150,-.
a.
Hitunglah
keuntungan sebanyak-banyaknya.
b.
Berapa
sebaiknya roti jenis A dan jenis B yang harus dibeli agar pedagang mendapat
keuntungan yang sebanyak-banyaknya.
3.
Seorang
pedagang pakaian mempunyai modal 2.475.000,- untuk membeli kemeja dengan harga
30.000,- per buah dan celana 75.000,- per buah. Jumlah kemeja yang ia beli
tidak kurang dari tiga kali jumlah celana. Ia mengambil keuntungan 4.500,-
untuk setiap potong celana dan 1.500,- untuk setiap potong kemeja.
a.
Berapa kemeja
dan celana yang harus dibeli supaya pedagang itu mendapat keuntungan yang
maksimum
b.
Hitunglah
keuntungan tersebut
4.
Seorang
penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan pisang. Harga
pembelian pisang 4.000,- per kg dan apel 10.000, - per kg. Penjaja buah
tersebut mempunyai modal 2.500.000,-. Sedangkan muatan gerobak tidak melebihi
400 kg. Jika keuntungan tiap kg apel 2 kali keuntungan tiap kg pisang. Berapa
kg apel dan pisang yang harus dibeli agar keuntungan yang diperoleh maksimum.
C.2 Metode Garis Selidik
Garis selidik diperoleh dari fungsi obyeltif.
Jika fungsi obyektif f(x,y) = px+qy, maka persamaan garis
selidiknya adalah px +qy = R, nilai R
dapat bernilai sebarang atau R = p x q.
garis selidik ini digambar pada bidang gmabar yang telah ada himpunan
penyelesainnya, yang merupakan garis selidik awal, kemudian diteruskan dengan
menggambar garis – haris selidik yang sejajar dengan garis selidik awal yang
ditunjukkan Gambar di bawah dengan langkah – langkah sebagai berikut:
a.
Gambarlah daerah penyelesaian dari batasan atau kendala yang diketahui.
b.
Lukisalah garis px + qy = pq
yang memotong sumbu X di titik (q,0)
dan sumbu Y di titik (0,p) sebagai
garis selidik awal.
c.
Buat garis – garis yang sejajar dengan garis selidik awal px+qy=pq hingga nilai R mencapai
maksimum atau minimum, dengan ketentuan sebagia berikut:
·
Jika garis selidik px +qy = r1 (R=r1)
sejajar dengan garis px+qy=pq, dan
daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah jkiri garis atau di bawah garis
selidik, maka nilai optimum fungsi obyektif (R) pada titik tersebut adalah maksimum.
Jika garis selidik px +qy = r1 (R=r1)
sejajar dengan garis px+qy=pq, dan
daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah jkiri garis atau di bawah garis
selidik, maka nilai optimum fungsi obyektif (R) pada titik tersebut adalah maksimum.
·
Jika garis px +qy=r2
(R=r2) sejajar dengan
garis px+qy=pq, dan daerah himpunan penyelesaian berada disebelah kanan garis
atau di atas garis selidik, maka nilai optimum fungsi obyektif (R) pada titik
tersebut adalah minimum.
Untuk membantu pemahaman pembaca berikut
penulis berikan contoh soal.
Contoh Soal
Dengan menggunkan garis selidik, tentukan nilai
optimum fungsi obyektif f(x,y)=3x+7y,
pada batasan : 3x+2y
12, x+2y8, x
0 dan y 0.
12, x+2y8, x0 dan y 0.
Pembahasan:
Penyelesaian model di atas dengan langkah –
langkah berikut.
a.
Melukis daerah penyelsaian dari batsan – batasan saoal tersebut.
Melukis daerah penyelsaian dari batsan – batasan saoal tersebut.
b.
Tetapkan garis selidik, yaitu garis yang
bersesuaian dengan fungsi tujuan f(x,y)=3x+7y,
sehingga garis selidik awal adalah 3x + 7y = 21.
Tetapkan garis selidik, yaitu garis yang
bersesuaian dengan fungsi tujuan f(x,y)=3x+7y,
sehingga garis selidik awal adalah 3x + 7y = 21.
c.
Lukislah garis – garis yang sejajar dengan garis selidik awal hingga
garis tersebut melalui titik ekstrem atau titik sudut terakhir.
Pada gambar disamping garis
selidik awal adalah k1:3x+7y=21.
Nilai optimum fungsi tersebut
terletak pada titik ekstrem yang dilalui garis selidik. Perhatikan garis k2
melalui titik A(0,4), garis k3 melalui titik C(4,0), garis k4
melalui titik O(0,0). Karena daerah penyelesaian system terletak disebelah kiri
(atau dibawah ) garis selidik k2 berarti maksimum fungsi obyektif diperoleh pada titik A(0,4). Minimum fungsi obyektif diperoleh pada
titik O(0,0) karena daerah penyelesaian terletak di atas (atau dikanan) garis
selidik k4. Dengan demikian untuk A(0,4) fungsi f(x,y) = 28 (maksimum).
Sedangkan untuk titik O(0,0) fungsi f(x,y)=0 (minimum). Jadi nilai minimum
fungsi obyektif system adalah 0 dan nilai maksimumhya dalah 28.
Selanjutnya untuk mengasah
kemampuan ada baiknya pembaca mencoba menyelesaikan beberapa soal pada latihan
soal berikut.
Latihan Soal
1.
Tentukan
nilai maksimum dan minimum 4x + y dengan menggunakan garis selidik dari daerah
sistem pertidaksamaan linier 
dan
dan
2.
Dengan
menggunakan garis selidik, tentukan nilai maksimum 4x + 2y pada daerah himpunan penyelesaian 
3.
Dengan
menggunakan garis selidik, tentukan nilai maksimum dan minimum 2x – y pada
pertidaksamaan 
4.
Dengan
menggunakan garis selidik, tentukan nilai maksimum dan minimum q = 6x + 10y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 
5.
Dengan
menggunakan garis selidik, tentukan nilai maksimu dan minimum q = 16x – 2y + 40
dari daerah penyelesaian 
Uji kompetensi
1.
Sebuah
pesawat terbang mempunyai tempat duduk tidak lebih untuk 48 penumpang. Setiap
penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg, sedangkan penumpang kelas
ekonomi bagasinya dibatasi 20 kg. Pesawat hanya boleh membawa bagasi 1.440 kg.
Harga tiket kelas
utama Rp400.000,00 per
orang dan kelas ekonomi Rp300.000,00 per orang. Jika pesawat terbang membawa
penumpang kelas utama x orang dan kelas ekonomi y orang, maka
hasil penjualan tiket terbesarnya adalah
adalah ….
a.
Rp18.000.000,00
b.
Rp16.000.000,00
c. Rp15.600.000,00
d.
Rp14.400.000,00
e.
Rp12.600.000,00
2. 
Daerah yang diarsir dalam diagram di samping
adalah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan ... .
Daerah yang diarsir dalam diagram di samping
adalah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan ... .
a. 
x ≥ 0
; y ≥ 0 ; x + 2y ≤ 8 ; 3x – 2y ≤ 12
x ≥ 0
; y ≥ 0 ; x + 2y ≤ 8 ; 3x – 2y ≤ 12
b. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + 2y
≥ 8 ; 3x + 2y ≥ 12
c. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + 2y
≤ 8 ; 3x + 2y ≥ 12
d.
x ≥
0 ; y ≥ 0 ; x + 2y ≤ 8 ; 3x + 2y ≤ 12
e.
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + 2y
≥ 8 ; 3x + 2y ≤ 12
3. Seorang
penjahit membuat 2 model pakaian. Model pertama memerlukan 1 m kain putih dan 1,5 m kain berwarna. Model
kedua memerlukan 2 m kain putih dan 0,5 m
kain berwarna. Penjahit tersebut mempunyai
persediaan 20 m kain putih dan 10 m kain berwarna. Pakaian-pakaian tersebut
habis terjual dengan harga
Rp60.000,00/potong untuk model pertama dan Rp50.000,00/potong untuk model
kedua. Penjahit akan mendapatkan penerimaan maksimum jika pakaian yang
dibuatnya adalah …..
a. 8 potong pakaian
model pertama dan 4 potong pakaian model kedua
b.
4 potong pakaian model
pertama dan 8 potong pakaian model kedua
c. 9 potong pakaian
model pertama dan 3 potong pakaian model kedua
d. 3 potong pakaian
model pertama dan 9 potong pakaian model kedua
e. 9 potong pakaian
model pertama dan 4 potong pakaian model kedua
4. Nilai maksimum fungsi
sasaran 
dari sistem pertidaksamaan berikut:
dari sistem pertidaksamaan berikut:
adalah ….
a.
168
b.
132
c.
120
d.
96
e.
84
5.
Pedagang teh mempunyai almari yang hanya cukup
ditempati 40 kotak teh. Teh A dibeli dengan harga Rp6.000,00/kotak dan teh B
dibeli dengan harga Rp8.000,00/kotak. Jika pedagang tersebut mempunyai modal
Rp300.000,00 untuk membeli x kotak teh A dan y kotak teh B, maka
sistem pertidaksamaan linier dari masalah tersebut adalah....
a.
3x + 4y ³ 150; x + y ³ 40; x
³ 0; y
³ 0, x, y Î B
b.
3x + 4y ³ 150; x + y £ 40; x
³ 0; y
³ 0, x, y Î B
c. 3x + 4y £ 150; x + y £ 40; x ³ 0; y ³ 0, x, y Î B
d.
6x + 8y £ 300; x + y ³ 40; x
³ 0; y
³ 0, x, y Î B
e.
8x + 4y £ 300; x + y £ 40; x
³ 0; y
³ 0, x, y Î B
6. 
Daerah yang diarsir pada gambar di samping
menunjukkan daerah layak dari sistem pertidaksamaan. Jika fungsi obyektif dari
sistem pertidaksamaan
tersebut memaksimumkan f
= 2x + 3y, maka titik optimumnya terletak pada …..
Daerah yang diarsir pada gambar di samping
menunjukkan daerah layak dari sistem pertidaksamaan. Jika fungsi obyektif dari
sistem pertidaksamaan
tersebut memaksimumkan f
= 2x + 3y, maka titik optimumnya terletak pada …..
a.
A (4,0)
b.
B 
c.
C 
d.
e. 
7.
Sebuah kapal
berisi 300 tempat duduk, yang terbagi atas kelas eksekutif dan kelas
bisnis. Setiap penumpang kelas eksekutif
memiliki jatah muatan 80 kg, sementara setiap penumpang kelas bisnis memiliki
jatah muatan 40 kg. Kapal hanya
dapat memuat 12,8
ton barang. Harga
tiket adalah Rp170.000,00 untuk
kelas eksekutif dan Rp120.000,00 untuk kelas bisnis. Agar diperoleh keuntungan
maksimum, maka banyaknya tempat duduk kelas eksekutif adalah ….
a.
10
b.
20
c.
30
d.
270
e. 280
8. Seorang penjahit
membuat 2 model pakaian. Model
pertama memerlukan 1 m kain putih dan 1,5 m kain berwarna. Model kedua
memerlukan 2 m kain putih dan 0,5 m kain berwarna. Penjahit tersebut mempunyai
persediaan 20 m kain putih dan 10 m kain berwarna. Pakaian-pakaian tersebut habis terjual
dengan harga Rp60.000,00/potong untuk model pertama dan Rp50.000,00/potong
untuk model kedua. Penjahit akan mendapatkan penerimaan maksimum jika pakaian
yang dibuatnya adalah …..
a. 8 potong pakaian
model pertama dan 4 potong pakaian model kedua
b. 4 potong pakaian model pertama dan 8 potong
pakaian model kedua
c. 9 potong pakaian
model pertama dan 3 potong pakaian model kedua
d. 3 potong pakaian
model pertama dan 9 potong pakaian model kedua
b. 9 potong pakaian
model pertama dan 4 potong pakaian model kedua
9. Nilai minimum fungsi sasaran f = 4x + 3y, dari sistem pertidaksamaan berikut: (1) x – y 
0
0
(2) x + y 
7
7
(3)
6x + y 12
12
(4)
x 0 dan y 0
0 dan y 0
adalah ….
a.
36
b.
24,5
c.
22
d.
21
e.
10,5
10.
Seorang
pedagang buah menjual mangga dan jeruk dengan menggunakan gerobak. Pedagang
tersebut membeli mangga dengan harga Rp8.000,00/kg dan jeruk Rp6.000,00/kg.
Modal yang dimiliki Rp1.200.000,00 dan gerobaknya memuat mangga dan jeruk
sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp9.200,00/kg dan jeruk Rp7.000,00/kg
maka laba maksimum yang diperoleh pedagang adalah …..
- Rp134.400,00
- Rp180.000,00
- Rp192.000,00
- Rp204.000,00
e.
Rp216.000,00
11. Daerah yang
diarsir pada gambar di samping menunjukkan daerah layak dari sistem pertidaksamaan. Jika fungsi
obyektif dari sistem pertidaksamaan
tersebut memaksimumkan f
= 2x + 3y, maka titik optimumnya terletak pada …..
a.
A (4,0)
A (4,0)
b.
B
c.
C
d.
e.
(kunci)
(kunci)
12. Seorang pedagang buah
menjual mangga dan jeruk dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli
mangga dengan harga RP8.000,00/kg dan jeruk Rp6.000,00/kg. Modal yang
dikeluarkan RP1.200.000,00 dan gerobaknya memuat mangga dan jeruk sebanyak 180 kg.
Jika harga jual mangga Rp9.200,00/kg dan jeruk Rp7.000,00/kg maka laba maksimum
yang diperoleh pedagang adalah …..
a.
Rp134.400,00
b.
Rp180.000,00
c.
Rp192.000,00
d.
Rp204.000,00
e. Rp216.000,00
13.
Nilai
maksimum fungsi sasaran dari sistem
pertidaksamaan berikut :
dari sistem
pertidaksamaan berikut :
adalah
….
a.
36
b.
24,5
c.
22
d.
21
e.
10,5
14.
Seorang
alumni SMA mendapat jatah merakit sepeda dan sepeda motor. Karena jumlah
pekerja terbatas, alumni SMA hanya dapat merakit sepeda 120 unit tiap bulan dan
sepeda motor paling sedikit 10 unit dan paling banyak 60 unit. Pendapatan dari
tiap unit sepeda sebesar Rp40.000,00 dan tiap unit sepeda motor Rp268.000,00.
Pendapatan maksimum tiap bulan dapat dicapai
kalau kapasitas produksi dua jenis 160 unit. Jika s buah sepeda dan m buah
sepeda motor dapat dirakit dalam satu bulan, maka model matematika dari masalah
di atas adalah ….
a.
Memaksimumkan f = 40.000s + 268.000m yang
memenuhi: 10 m 60; 0 s 120; s +
m 160; s 0; m 0; s, m Î C
m 60; 0 s 120; s +
m 160; s 0; m 0; s, m Î C
b.
Memaksimumkan f = 40.000s + 268.000m yang memenuhi: 10 m 60; 0 s 120; s +
m = 160; s 0; m 0; s, m Î C
m 60; 0 s 120; s +
m = 160; s 0; m 0; s, m Î C
c.
Memaksimumkan f = 268.000s + 40.000m yang
memenuhi: 10 m 60; 0 s 120; s +
m = 160; s 0; m 0; s, m Î C
m 60; 0 s 120; s +
m = 160; s 0; m 0; s, m Î C
d.
Memaksimumkan f = 268.000s + 40.000m yang
memenuhi: 10 m 60; 0 s 120; s +
m 160; s 0; m 0; s, m Î C
m 60; 0 s 120; s +
m 160; s 0; m 0; s, m Î C
e.
Memaksimumkan f = 40.000s + 268.000m yang
memenuhi: 10 m 60; 0 s 120; s +
m = 160; s 0; m 0
m 60; 0 s 120; s +
m = 160; s 0; m 0
15.
Sebuah kapal berisi
300 tempat duduk, yang terbagi atas kelas eksekutif dan kelas bisnis. Setiap penumpang kelas eksekutif memiliki
jatah muatan 80 kg, sementara setiap penumpang kelas bisnis memiliki jatah
muatan 40 kg. Kapal hanya
dapat memuat 12,8
ton barang. Harga
tiket adalah Rp170.000,00 untuk
kelas eksekutif dan Rp120.000,00 untuk kelas bisnis. Agar diperoleh keuntungan
maksimum, maka banyaknya tempat duduk kelas bisnis adalah ….
a.
10
b.
20
c.
30
d.
270
e.
280
16.
Seorang pengusaha
di bidang tempat kos/sewa rumah merencanakan membangun
untuk disewakan kepada 540 orang pelajar/mahasiswa. Supaya tersedia tanah untuk
sarana olahraga, pengusaha menetapkan untuk membangun tidak lebih dari 120
rumah yang terbagi menjadi dua tipe. Tipe I (untuk 4 orang) disewakan
Rp90.000,00 sebulan tiap rumah, dan tipe II (untuk 6 orang) disewakan
Rp107.000,00. Pendapatan maksimum yang diperoleh pengusaha tersebut adalah ….
a.
Rp 9.630.000,00
b.
Rp10.800.000,00
c.
Rp11.310.000,00
d.
Rp38.400.000,00
e.
Rp96.300.000,00
17.
Seorang
alumni SMA mendapat jatah merakit sepeda dan sepeda motor. Karena jumlah
pekerja terbatas, alumni SMA hanya dapat merakit sepeda 120 unit tiap bulan dan
sepeda motor paling sedikit 10 unit dan paling banyak 60 unit. Pendapatan dari
tiap unit sepeda sebesar Rp. 40.000,00 dan tiap unit sepeda motor Rp.
268.000,00. Jika kapasitas produksi tiap bulan untuk dua jenis barang tersebut
160 unit, maka pendapatan maksimum diperoleh dengan memproduksi ….
a.
40 sepeda dan 100 sepeda motor
b.
100 sepeda dan 40 sepeda motor
c.
60 sepeda dan 100 sepeda motor
d.
100 sepeda dan 60
sepeda motor
e.
60 sepeda dan 40 sepeda motor
18.
Seorang
pedagang buah-buahan membeli jeruk dengan harga Rp200,00 perbuah dan jambu
dengan harga Rp100,00 per buah ia hanya mempunyai modal Rp80.000,00 dan kiosnya
hanya dapat menampung 500 buah. Bila jeruk dijual dengan laba Rp40,00 perbuah
dan jambu Rp30,00 perbuah, maka laba yang sebesar-besarnya yang dapat diperoleh
adalah …
a.
Rp15.000,00
b.
Rp16.000,00
c.
Rp18.000,00
d.
Rp19.000,00
e.
Rp20.000,00
19.
Daerah yang diarsir dalam diagram di samping adalah daerah layak dari sistem pertidaksamaan
... .
Daerah yang diarsir dalam diagram di samping adalah daerah layak dari sistem pertidaksamaan
... .
a. x ≥ 0 ; y
≥ 0 ; x + 2y ≤ 8 ; 2x – y ≤ 8
b. x ≥ 0 ; y
≥ 0 ; x + 2y ≥ 8 ; 2x + y ≥ 8
c.
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + 2y ≤ 8 ; 2x + y
≥ 8
d.
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 2x + y ≥ 8 ; 3x + 4y ≤ 12
e. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 2x + y
≤ 8 ; 3x + 4y ≤ 12
20. Seorang pengusaha
penitipan (parkir) kendaraan (roda 4 atau lebih) menyediakan ruangan seluas 600
m2. Tiap mobil jenis sedan/minibus memerlukan 6 m2 dan
tiap jenis bus memerlukan 30 m2. Supaya tersedia waktu untuk
pemeliharaan bangunan, pengusaha itu menetapkan kepada pelanggan bahwa tidak
menampung lebih dari 60 kendaraan sekaligus. Kepada pelanggan dikenakan biaya
penitipan (per malam) Rp1.250,00 untuk tiap mobil jenis sedan dan Rp3.750,00
untuk tiap bus. Pendapatan maksimum yang diperoleh adalah ....
a.
Rp75.000,00
b.
Rp100.000,00
c.
Rp150.000,00
d.
Rp200.000,00
e.
Rp225.000,00
21.
Daerah yang diarsir
pada gambar di samping menunjukkan daerah layak dari
sistem pertidaksamaan. Jika
fungsi obyektif dari sistem pertidaksamaan tersebut memaksimumkan f = 2x + 3y, maka titik
optimumnya terletak pada …..
a.
A (4,0)
A (4,0)
b.
B
c.
C
d.
e.
(kunci)
(kunci)
22.
Seorang pengusaha
di bidang tempat kos/sewa rumah
merencanakan membangun untuk disewakan kepada 540 orang
pelajar/mahasiswa. Supaya tersedia tanah untuk sarana olahraga, pengusaha
menetapkan untuk membangun tidak lebih dari 120 rumah yang terbagi menjadi dua
tipe. Tipe I (untuk 4 orang) disewakan Rp90.000,00 sebulan tiap rumah, dan tipe
II (untuk 6 orang) disewakan Rp107.000,00. Agar pengusaha memperoleh pendapatan
maksimum, maka banyaknya rumah tipe II yang akan dibangun adalah … rumah.
a.
30
b.
60
c.
75
d.
90
e.
120
23.
Daerah yang diarsir
pada gambar di samping menunjukkan daerah layak dari sistem pertidaksamaan. Jika fungsi obyektif dari sistem pertidaksamaan tersebut memaksimumkan f = 2x + 3y, maka titik
optimumnya terletak pada …..
a.
A (4,0)
A (4,0)
b.
B
c.
C
d.
e.
(kunci)
(kunci)
24. Luas daerah parkir 1.760 m2.
Luas rata – rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan,
biaya parkir mobil kecil Rp. 1.000,00/jam dan mobil besar Rp. 2.000,00/jam.
Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak kendaraan yang pergi dan datang,
maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah ….
a.
Rp.
176.000,00.
b.
Rp. 200.000,00.
c.
Rp.
260.000,00.
d.
Rp.
300.000,00.
e.
Rp.
340.000,00.
25. Seorang pedagang menjual buah mangga dan
pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan
harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp.
1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180
kg. Jika harga jual mangga Rp. 9.200,00/kg dan pisang Rp. 7.000,00/kg, maka
laba maksimum yang diperoleh adalah ….
a.
Rp.
150.000,00.
b.
Rp.
180.000,00.
c.
Rp.
192.000,00.
d.
Rp.
204.000,00.
e.
Rp. 216.000,00.
26.
Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk tipe
A diperlukan 100 m2 dan dan tipe B diperlukan 75 m2.
Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A
adalah Rp. 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp. 4.000.000,00/unit.
Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh daru penjualan rumah tersebut adalah
….
a.
Rp.
550.000.000,00.
b.
Rp.
600.000.000,00.
c.
Rp.
700.000.000,00.
d.
Rp.
800.000.000,00.
e.
Rp.
900.000.000,00.
27.
Suatu tempat
parkir yang luasnya 300 m2 digunakan untuk memarkir sebuah mobil
dengan rata – rata 10 m2 dan untuk bus rata – rata 20 m2
dengan daya tampung hanya 24 kendaraan. Biaya parkir untuk mobil Rp.
1.000,00/jam dan untuk bus Rp. 3.000,00/jam. Jika dalam satu jam tempat parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang
dating dan pergi, hasil maksimum tempat parkir iru adalah ….
a.
Rp.
15.000,00.
b.
Rp.
30.000,00.
c.
Rp.
40.000,00.
d.
Rp.
45.000,00.
e.
Rp.
60.000,00.
28.
Nilai maksimum fungsi obyektif 4x + 2y pada himpunan penyelesaian system
pertidaksamaan x + y 4, x + y 9, –2x + 3y 12, 3x – 2y 12 adalah ….
4, x + y 9, –2x + 3y 12, 3x – 2y 12 adalah ….
a.
16
b.
24
c.
30
d.
36
e.
48
29.
Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari system pertidaksamaan 4x + 2y 60, 2x + 4y 48, x0, y 0 adalah ….
60, 2x + 4y 48, x0, y 0 adalah ….
a.
120
b.
118
c.
116
d.
114
e.
112
30.
Untuk
menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue
untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp. 200,00 dengan
keuntungan 40%, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp. 300,00 dengan
keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setipa harinya adalah Rp. 100.000,00
dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan tersbesar
yang dapat dicapai ibu tersebut adalah ….
a.
30%
b.
32%
c.
34%
d.
36%
e.
40%
Pustaka
Johanes, dkk, yudistira, KOmpetensi matematika
sma kelas 3a,
BAB
III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk
menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi
syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk
melanjutkan ke topik/modul berikutnya.
DAFTAR
PUSTAKA
Pemerintah Kota
Semarang, 2006. Matematika Program Ilmu Pengetahuan Sosial, Semarang :
H. Sunardi, Slamet
Waluyo, Sutrisno, H. Subagya, 2005. Matematika
IPS, Penerbit Bumi Aksara, Jakarta.
Wilson
Simangunsong, 2005. Matematika Dasar,
Penerbit Erlangga, Jakarta.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar